Colloque / Séminaire

Les inégalités introduites par Poincaré à la fin du 19ème siècle pour l’étude du refroidissement des corps sont aujourd’hui utilisées pour la réduction de dimension. Elles permettent en effet de détecter plus rapidement les variables (x1, …, xd) qui ne sont pas essentielles dans l’étude d’une fonction multivariée (f) coûteuse à évaluer. Cette situation se présente par exemple dans l’analyse de simulateurs numériques lourds modélisant un phénomène.
Le lien peut se comprendre intuitivement. Dans les inégalités de Poincaré, l’énergie d’une fonction est contrôlée par l’énergie du gradient. Ici, chaque terme d’énergie correspond à un indice de sensibilité globale : l’indice de Sobol de la décomposition ANOVA de f, et l’indice DGSM calculé à partir du gradient de f. L’indice DGSM se calcule plus vite mais c’est l’indice de Sobol qui fournit un critère interprétable pour décider qu’une variable n’est pas essentielle. Avoir les inégalités de Poincaré les plus fines possibles permet donc de réduire la dimension avec moins d’évaluations de f.
Ce point de vue amène à revisiter les inégalités de Poincaré en dimension 1 pour répondre à de nouvelles questions pratiques. En particulier, comment obtenir les meilleurs inégalités possibles pour une loi de probabilité quelconque, souvent tronquée ?
La résolution de ce problème sera étudiée en détail dans ce séminaire.
Pour finir, on présentera une application en hydrologie, où les nouveaux résultats améliorent d’un facteur 6 les inégalités utilisées jusqu’à présent, et permettent de retrouver avec succès les variables non essentielles.

Travail joint avec F. Barthe (IMT Toulouse) et B. Iooss (EDF & IMT Toulouse).
Programmes de recherche associés : Chaire de Math. Appli. Oquaido, GdR MascotNum Mots clés :Inégalités de Poincaré, Analyse de sensibilité, Décomposition de Sobol-Hoeffding